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Mathe — Was müssen die Schüler können?

23.03.2016
  Über welche mathematischen Kompetenzen sollten Schülerinnen und Schüler im Kanton Zug am Ende der obligatorischen Schulzeit verfügen? Für den folgenden Artikel machte ich mich, Matthias ...
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Über welche mathematischen Kompetenzen sollten Schülerinnen und Schüler im Kanton Zug am Ende der obligatorischen Schulzeit verfügen? Für den folgenden Artikel machte ich mich, Matthias Hasler*, Leiter der kantonalen Fachgruppe Mathematik, auf die Suche nach Antworten.

Eine erste Antwort fand ich in den nationalen Bildungszielen. Die darin beschriebenen Ziele wurden an der Plenarveranstaltung vom 16. Juni 2011 durch die EDK (Schweizerische Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren) freigegeben. Die Ziele beschreiben die Grundkompetenzen, die Lernende bis am Ende des 4., 8. und 11. Schuljahres erwerben sollen. Der Lehrplan 21 und die Lehrmittel orientieren sich an diesen nationalen Zielen. Im ersten Teil meiner Spurensuche erläutere ich den Aufbau dieser Grundkompetenzen gemäss den nationalen Bildungszielen.

Antworten auf die eingangs gestellte Frage gab mir auch der aktuell gültige Lehrplan Mathematik der Bildungsregion Zentralschweiz (Abschnitt 2) und der Lehrplan 21 (Abschnitt 3), welcher im Kanton Zug ab Schuljahr 2019/20 verbindlich sein wird.

Im letzten Abschnitt versuche ich die Weiterentwicklung für das Fach Mathematik nochmals zusammenzufassen.

    a) Grundkompetenzen für die Mathematik - Nationale Bildungsstandards

      Die Basis bei den Grundkompetenzen für die Mathematik bildet eine Matrix aus Handlungsaspekten (mathematische Tätigkeiten) und Kompetenzbereichen (mathematische Inhalte/Themen):

      (Erziehungsdirektoren, 2016, S. 7)

      Im 1. Zyklus arbeiten die Lernenden in den Kompetenzbereichen „Zahl und Variable" und „Form und Raum". Diese beiden Kompetenzbereiche werden im Verlaufe der obligatorischen Schulzeit bis zum 3. Zyklus um die Kompetenzbereiche „Daten und Zufall", „Grössen und Masse" und „Funktionale Zusammenhänge" erweitert:


      (Erziehungsdirektoren, 2016, S. 9)

      Die nationalen Bildungsstandards formulieren nun Kompetenzen für jeden Kompetenzbereich und zu jedem Handlungsaspekt - sprich zu jedem Matrixfeld - über welche Lernende am Ende des 4., 8. und 11. Schuljahres verfügen sollten.

      Beispielhaft möchte ich hier zwei Kompetenzen aufführen und ihre Verordnung im Matrixfeld aufzeigen (siehe auch Zahlen im Matrixfeld):

      • Kompetenzbereich: Zahl und Variable; Handlungsaspekt: Operieren und berechnen: "Einfache, lineare Gleichungen mit einer Unbekannten lösen können." (Erziehungsdirektoren, 2016, S. 19)
      • Kompetenzbereich: Form und Raum; Handlungsaspekt: Darstellen und Kommunizieren: "Lösungswege mit Worten, Skizzen, Zeichnungen oder Modelle verdeutlichen können." (Erziehungsdirektoren, 2016, S. 21)

      b) Welche Antworten liefert der aktuell gültige Lehrplan? 

      Der aktuelle Lehrplan "Mathematik für die Bildungsregion Zentralschweiz (7.- 9. Schuljahr)" unterteilt den Stoffinhalt in insgesamt 11 Themenbereiche. Zu diesen Themenbereichen sind schuljahrübergreifende Grobziele formuliert.

      Für die Themenbereiche 1 – 3 (im Lehrplan 21 dem Kompetenzbereich „Zahl und Variable" zugeordnet) sind folgende Grobziele formuliert:

      Die Lernenden sollen:
      ...die Eigenschaften und Beziehungen natürlicher, ganzer, rationaler und irrationaler Zahlen kennen und anwenden können.
      ...die Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und ihre Gesetze kennen und anwenden können.
      ...mit Potenzen und einfachen Wurzeln rechnen und Zahlen mit Zehnerpotenzen darstellen.
      ...Variablen als Platzhalter für Zahlen verstehen, einfache Variablenterme umformen und vereinfachen.
      ...Gleichungen und einfache Ungleichungen aufstellen, lösen und bei Sachaufgaben aus der Arithmetik und Geometrie anwenden können.

      Für die Themenbereiche 4 - 7 (im Lehrplan 21 dem Kompetenzbereich „Grössen, Funktionen, Daten und Zufall" zugeordnet) sind folgende Grobziele formuliert:

      Die Lernenden sollen:
      ...verschiedene Relationen (Zuordnungen oder funktionale Zusammenhänge) erkennen und zweckmässig darstellen können.
      ...Funktionen zur Beschreibung von Abhängigkeiten benutzen und in verschiedenen mathematischen Formen ausdrücken und darstellen können.
      ...das Prozentrechnen als mathematische Ausdrucksweise für gesellschaftliche, politische, wirtschaftliche und technische Probleme anwenden können.
      ...an praktischen Beispielen einfache Grundkenntnisse der beschreibenden Statistik kennenlernen.
      ...die wichtigsten Einheiten kennen und mit Grössen sachgerecht umgehen können.
      ...sinnvoll runden, mit grobgerundeten Werten Kopfrechnen, Resultate abschätzen und überprüfen können.
      ...elektronische Hilfsmittel sachgerecht einsetzen können.

      Für die Themenbereiche 8 - 11 (im Lehrplan 21 dem Kompetenzbereich „Form und Raum" zugeordnet) sind folgende Grobziele formuliert:

      Die Lernenden sollen:
      ...die Kongruenzabbildungen und die dabei verwendeten Begriffe kennen und anwenden können.
      ...die zentrische Streckung als Ähnlichkeitsabbildung mit den entsprechenden Begriffen kennen und anwenden können.
      ...geometrische Grundbegriffe und Grundkonstruktionen kennen und beherrschen können.
      ...die Lage eines Punktes im Koordinatensystem festlegen können.
      ...spezielle Vielecke mit ihren Eigenschaften kennen und konstruieren können.
      ...den Kreis, seine Beziehungen zu Geraden und Strecken kennen und einfache Konstruktionen ausführen können.
      ...Winkelberechnungen durchführen können.
      ...Umfang und Flächeninhalt von gradlinig begrenzten Figuren berechnen können.
      ...Umfang und Flächeninhaltsberechnungen für Kreis und Kreisteile ausführen können.
      ...den Satz des Pythagoras kennen und anwenden können.
      ...Berechnungen von Längen und Flächen aufgrund von Ähnlichkeitsbeziehungen durchführen können.
      ...das räumliche Vorstellungsvermögen schulen und räumliche Sachverhalte zeichnerisch darstellen können.
      ...die Eigenschaften von Körpern kennen und Berechnungen an Körpern ausführen können.

      Im aktuellen Lehrplan werden in den einleitenden Richtzielen zwar mathematische Tätigkeiten formuliert, diese werden aber nicht eindeutig den Themenbereichen oder Grobzielen zugeordnet.

      c) Welche Antworten liefert der Lehrplan 21?

      Im Unterschied zum aktuellen Lehrplan werden im Lehrplan 21 die mathematischen Inhalte mit entsprechenden Tätigkeiten verknüpft/kombiniert. Es wird also nicht nur aufgelistet, welche Inhalte die Lernenden erwerben sollen, sondern auch mit welcher mathematischen Tätigkeit/Handlung dies geschehen soll. Diese Verknüpfung basiert also auf den nationalen Bildungsstandards.


      Kompetenzbereiche und Handlungsaspekte dargestellt als 3x3 Matrixfeld (LP 21)

      Im Lehrplan 21 werden drei verschiedene Kompetenzbereiche (mathematische Inhalte/Themen) und drei verschiedene Handlungsaspekten (mathematische Tätigkeiten) beschrieben. Daraus abgeleitet sind insgesamt 26 Kompetenzen formuliert (verteilt auf die insgesamt 3x3 Matrixfelder), welche über mehrere Kompetenzstufen und die drei Zyklen aufgebaut werden.

      Der Erwerb der mathematischen Grundkompetenzen verfolgt gemäss Lehrplan 21 folgende Zielsetzungen:

      1. Ansprüche der Gesellschaft:
        Die gesellschaftlichen Ansprüche sowohl in Beruf wie in der Freizeit an die Lernenden besteht heute darin, Daten einzugeben, zu beurteilen, in Beziehung zu setzen, zu interpretieren und diese auch zu kommunizieren.
      2. Spezifisches mathematisches Wissen erwerben:
        Genauso wichtig für den Alltag oder den Beruf ist der Erwerb von spezifisch mathematischem Wissen (z.B. Zahlenverständnis, Stellenwertsystem oder Beziehung zwischen Längen, Flächen und Volumen).
      3. Orientierungs- und Anwendungswissen entwickeln:
        Mathematik ist ein Grundlagenfach für viele andere Fachbereiche. In Themen aus dem Alltag der Schülerinnen und Schüler (Handy, Kommunikation, Geld) oder zu allgemeinen Themen (Architektur, Biologie, Physik, Bevölkerungsentwicklung, Astronomie, Klimatologie) gilt es mathematischen Gehalt zu erkennen, zu diskutieren, zu mathematisieren (mathematisch zu vereinfachen), zu berechnen und darzustellen.
      4. Denk-, Urteils- und Kritikfähigkeit stärken:
        Im Mathematikunterricht soll die Fähigkeit zum Erkennen von Zusammenhängen und Regelmässigkeiten, zum Transfer, zur Umkehrung der Gedankengänge, zur Abstraktion, zur Logik und zum folgerichtigen Denken gefördert werden. Dies soll zu eigenen Einsichten führen und die Denk- und Urteilsfähigkeit für die Auseinandersetzung mit zukünftig auftretenden Problemen stärken.
      5. Mathematik als Sprache:
        Die Sprache der Mathematik erweitert die Ausdrucksmöglichkeit in logischer, visueller und struktureller Hinsicht. Ein regelmässiger Austausch zwischen den Lernenden trägt gleichzeitig zur Entwicklung alltags- und fachsprachlicher Kompetenzen und zum Aufbau der Reflexionsfähigkeit bei.
      6. Interesse an der Mathematik wecken:
        Durch das Entwickeln von eigenen Lösungen, Gedanken und Fragen, sowie beim Entdecken von Zusammenhängen sollen die Lernenden Mathematik als sinnhaltig erfahren, das Interesse an der Mathematik geweckt und das Weiterdenken angeregt werden.

      d) Fazit und Ausblick

      Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Zielsetzungen mit dem aktuellen Lehrplan sowie auch mit dem Lehrplan 21 die gleichen bleiben. Die Beschäftigung mit Mathematik soll die Entwicklung der Abstraktionsfähigkeit, des Vorstellungsvermögens, der Problemlösefähigkeit und das rationale Denken fördern. Der Erwerb der mathematischen Grundkompetenzen soll ihnen helfen, die Welt zu verstehen, sie konstruktiv, engagiert und reflektiert mitzugestalten und sich selbst in ihr zu entfalten und weiterzuentwickeln (EDK, S. 5). Die Mathematik ist somit ein Werkzeug, um die Umwelt zu erschliessen und zu verstehen.

      Der Weg zu diesem Ziel wird mit dem Lehrplan 21 neu definiert. Durch die Verknüpfung von mathematischen Inhalten (Kompetenzbereiche) und entsprechenden Tätigkeiten (Handlungsaspekte) soll das mathematische Lernen nachhaltiger und bewusster wirken. Dabei sollen Operationen, Begriffe und Beziehungen handelnd, bildhaft und sprachlich-symbolisch dargestellt werden. Dadurch sollen Lernende mathematische Sachverhalte besser verstehen, Erkenntnisse gewinnen und Operationen, Begriffe, Verfahren und Konzepte anwenden können.

      Ein Beispiel:
      Sowohl der aktuelle Lehrplan als auch der Lehrplan 21 verlangen, dass die Lernenden den Umfang und den Flächeninhalt von gradlinig begrenzten Figuren berechnen können (Handlungsaspekt „Operieren und Benennen").
      Gemäss Lehrplan 21 soll die Basis des Verstehens (also das Verständnis für die Formeln dieser gradlinig begrenzten Figuren und deren Anwendung) durch die Erforschung von geometrischen Beziehungen, durch Skizzen und Modelle, durch die Erklärung geometrischer Eigenschaften gelegt werden (Handlungsaspekt „Erforschen und Argumentieren").

      Die Orientierung neuer Mathematiklehrmittel an der 3x3 Matrix des Lehrplans 21 sorgt auch dafür, dass die verschiedenen Themen/Inhalte und die damit verbundenen mathematischen Tätigkeiten möglichst ausgewogen berücksichtigt werden. Meine Hoffnung diesbezüglich ist, dass die Lernenden die Mathematik facettenreicher und somit auch verständlicher und letztlich auch interessanter erleben und so das Schulfach Mathematik seinen doch weitverbreiteten Ruf als "unbeliebtes, unverständliches" Fach loswerden kann.

       

      
*Zuger Lehrpersonen Mathematik, Porträt I, Matthias Hasler

      Matthias Hasler, Mathematiklehrer/in seit 2000, Leiter Kantonale Fachgruppe Mathematik: 2012 - heute); Mathematiklehrer in Steinhausen; Liebstes Gebiet: 
Statistik, Wahrscheinlichkeit; Faszination: 
Genaue Wissenschaft, gibt den Lernenden ein rasches Feedback, Logik durch systematischen Aufbau/
Erwerb von überfachlichen Kompetenzen, wie z. B. Entwicklung von Problemlösestrategien, Ausdauer, Kooperation, Schulung des Denk- und Vorstellungsvermögens, Umgang mit Erfolg/Misserfolg, Erweiterung der Sprachfähigkeit, 
vielseitige Anwendung im Alltag (Prozent, Grössen, Vorstellungsvermögen, Zins, Grundoperationen/Kopfrechnen, schätzen, Statistik, Zuordnungen/Funktionen, geometrische Formen, Pythagoras) aber auch Grundlagenfach für Themen aus dem Alltag der Schülerinnen und Schüler (Handy, Kommunikation, Geld, ...) oder allgemeiner Themen (Architektur, Biologie, Physik, Bevölkerungsentwicklung, Klimatologie, ...)
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